函数存在反函(hán)数的充要条件是，函数的(de)定义(yì)域(yù)与值域是一一映射的(de)。

　　1、反(fǎn)函数(shù)的(de)定义域(yù)是原函数的值域，反函(hán)数的值域是原函(hán)数的定义域。

　　2、互为(wèi)反函数的(de)两个函(hán)数的图像关(guān)于直线y=x对称(chēng)。

　　3、原函(hán)数若是奇(qí)函数，则其反(fǎn)函(hán)数为奇(qí)函数。

　　4、若函数是单调(diào)函数，则一定有反函数(shù)，且(qiě)反函(hán)数的单调性与(yǔ)原(yuán)函数(shù)的一致。

　　5、原函(hán)数与反函数的图像(xiàng)若有交(jiāo)点，则(zé)交(jiāo)点一定在直线y=x上(shàng)或关(guān)于(yú)直线y=x对称出现。

反函数有(yǒu)哪些(xiē)性(xìng)质(zhì)

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与(yǔ)它的反(fǎn)函数(shù)f-1(x)图象关于直线y=x对(duì)称；

　　（2）函数存在(zài)反函数的充要条件(jiàn)是，函数的定义域与值域(yù)是一一映射；

　　（3）一(yī)个函数与(yǔ)它的反函数在相应区间上(shàng)单调性一致(zhì)；

　　（4）大(dà)部(bù)分偶函数不存(cún)在反(fǎn)函数(shù)（当(dāng)函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数(shù)f(x)是偶函(hán)数(shù)且有(yǒu)反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

　　奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂(chuí)直的(de)直线截时(shí)能过2个及(jí)以上(shàng)点(diǎn)即没有反(fǎn)函数。

　　腔神若一个奇函(hán)数存在反函数，则它的(de)反(fǎn)函数也(yě)是奇森圆穗函数(shù)。

　　（5）一段连(lián)续的函数的单调性在对应区间内(nèi)具(jù)有一致性；

　　（6）严增（减(jiǎn)）的函数一定有严格增（减(jiǎn)）的(de)反函数；

　　（7）反函数是相互(hù)的且具有唯(wéi)一性；

　　（8）定义(yì)域、值域相反(fǎn)对应(yīng)法(fǎ)则(zé)互逆（三反）；

　　（9）反函(hán)数(shù)的导数关系(xì)：如果x=f(y)在开(kāi)区间I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且(qiě)：

　　（10）y=x的反函数(shù)是它(tā)本身。

　　扩此卜展(zhǎn)资料：

　　反函数定义(yì)：

　　设函数y=f(x)的定(dìng)义(yì)域是D，值(zhí)域是f(D)。

　　如(rú)果(guǒ)对于值域(yù)f(D)中的每一个(gè)y，在(zài)D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应(yīng)法则(zé)得到了一个定义在f(D)上(shàng)的函数(shù)。

　　并把该(gāi)函数(shù)称为函(hán)数(shù)y=f(x)的(de)反函数(shù)，记为由(yóu)该定义可以很(hěn)快得(dé)出函数f的定(dìng)义域D和(hé)值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反(fǎn)函数就是(shì)f，也(yě)就是说，函数f和f-1互为反函数，即(jí)：

　　反函(hán)数(shù)与原(yuán)函(hán)数的复合(hé)函数等于x，即：

　　习惯上我们用x来(lái)表示(shì)自(zì)变量(liàng)，用y来表示因变量，于是函(hán)数y=f(x)的反函数(shù)通(tōng)常写(xiě)成

　　 。

　　例如(rú)，函数  

　　的反函数是  。

　　相(xiāng)对(duì)于(yú)反函数y=f-1(x)来说(shuō)，原(yuán)来(lái)的函数(shù)y=f(x)称为直(zhí)接(jiē)函数。

　　反函(hán)数和直接函数(shù)的图(tú)像关于直线(xiàn)y=x对(duì)称(chēng)。

　　这(zhè)是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任(rèn)意一点，即b=f(a)。

　　根(gēn)据反函数的定(dìng)义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和(hé)f-1关于y=x对(duì)称。

　　于是我们可以(yǐ)知道(dào)，如果(guǒ)两个(gè)函数的(de)图像关于y=x对称(chēng)，那(nà)么这两个函数(shù)互为(wèi)反(fǎn)函(hán)数(shù)。

　　这也可以看(kàn)做是反函(hán)数的一个几(jǐ)何定义。

　　在微积(jī)分里，f (n)(x)是用(yòng)来(lái)指(zhǐ)f的n次(cì)微分的。

　　若(ruò)一函数有(yǒu)反(fǎn)函数，此函数便称为(wèi)可逆的(de)（invertible）。

　　参(cān)考资料(liào)：百度百科---反函数

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